W systemie Kelly’ego wysokość stawek zakładów ustala się na podstawie: wielkości bankrollu, kursu i szacunkowych szans na wygraną. Celem tego systemu stawkowania jest maksymalizacja tempa długoterminowego wzrostu budżetu gracza. Do skutecznej gry konieczna jest umiejętność znajdowania valuebetów (zakładów o dodatniej wartości oczekiwanej).

System Kelly’ego podaje wzór na obliczenie, jaką część (%) aktualnego bankrollu postawić na zakład.
Im większa jest przewaga gracza (wyższe oszacowane value zakładu), tym wyższa stawka. Brak value → nie obstawiasz zakładu.

Na czym polega system Kelly’ego?

Do stosowania systemu Kelly’ego podczas stawkowania zakładów bukmacherskich niezbędne są wartości 3 zmiennych:

• wysokość aktualnego bankrollu,
• kurs bukmacherski danego zakładu,
• oszacowane prawdopodobieństwo trafienia zakładu.

W tym systemie kluczowa jest przewaga gracza wynikająca z relacji między kursem bukmachera a rzeczywistym prawdopodobieństwem zajścia danego zdarzenia.  Im jest ona większa, tym wyższa będzie wartość stawki zakładu.

W praktyce obstawianie zakładów przy użyciu systemu Kelly’ego obejmuje następujące kroki:

1. Szukanie valuebetu – podstawowym warunkiem zastosowania systemu jest znalezienie zakładu, którego kurs jest zawyżony (prawdopodobieństwo jego zajścia jest wyższe niż wskazuje na to kurs). Gracz musi samodzielnie ustalić prawdopodobieństwo wystąpienia określonego wyniku i porównać je z prawdopodobieństwem wynikającym z kursu bukmachera. Dopiero po znalezieniu valuebetu można przejść do następnego kroku.
2. Obliczenie stawki – korzystając z wzoru Kelly’ego i znając wymagane wartości (kurs, prawdopodobieństwo, bankroll), gracz oblicza wysokość stawki zakładu.
3. Aktualizacja bankrollu – po rozliczeniu zakładu (wygranej lub przegranej) należy zaktualizować wielkość posiadanego kapitału na grę.

Warunkiem działania systemu, a zarazem jego najtrudniejszym elementem, jest prawidłowe oszacowanie prawdopodobieństwa. Sam system Kelly’ego w tym nie pomaga. Jeśli gracz niepoprawnie oszacuje szanse na trafienie zakładu, wartość stawki też będzie nieadekwatna.

Jak obliczyć stawkę w systemie Kelly’ego?

Wzór Kelly’ego

System Kelly’ego oferuje graczowi wzór, za pomocą którego można wyliczyć konkretną kwotę stawki zakładu.

Jeśli uzyskany wynik jest dodatni, to stanowi on optymalną stawkę dla danego zakładu. Jeśli jednak jest ujemny lub równy 0, to zakład nie jest valuebetem i nie należy go zawierać.

Na marginesie warto dodać, że jeśli dany zakład to valuebet, to prawdziwe jest twierdzenie: P * K > 1

Wzór Kelly’ego a podatek od zakładów

Obstawiając legalne zakłady bukmacherskie w Polsce, musisz pamiętać o obowiązującym podatku od zakładów.Jego wartość to 12% potrącane ze stawki każdego obstawianego kuponu. W ten sposób wartość potencjalnej wygranej jest obniżana, co należy uwzględnić w wyliczeniach stawek.

W polskich realiach podatkowych kurs bukmachera należy jeszcze pomnożyć przez 0.88 i otrzymany wynik wpisać w miejsce K. Wyjątkiem jest sytuacja, gdy bukmacher oferuje promocję typu gra „bez podatku”.

W niektórych przypadkach zakład z value po uwzględnieniu podatku przestaje być opłacalny!

System Kelly’ego – przykład obliczeń

Prześledźmy sposób stawkowania z wykorzystaniem systemu Kelly’ego na przykładzie.

Założenia: bankroll wynosi 100 zł, zakład z kursem 1.80 (co odpowiada prawdopodobieństwu ok 55,56%), szacowane przez gracza prawdopodobieństwo trafienia to 66%.

Dane do wzoru:

• Bankroll (B): 100 zł
• Prawdopodobieństwo wygranej (P): 66%  = 0,66
• Kurs bukmacherski (K): 1.80 * 0.88 = 1.584 (po uwzględnieniu podatku 12%)

Wyliczenia wg wzoru Kelly’ego:

S = [100 × (0,66 × 1.584 − 1)] / (1.584 − 1) = 7,78 zł

Wynik jest dodatni, co oznacza, że należy obstawić zakład za wyliczona stawkę (7,78 zł), która wynosi 7,78% bankrollu gracza. W przypadku, gdyby obstawianie było realizowane bez podatku (np. w ramach specjalnej promocji), stawka byłaby znacznie wyższa – wyniosłaby dokładnie 23,50 zł.

Szacowane prawdopodobieństwo a wysokość stawki

Żeby uświadomić sobie, jak ogromne znaczenie w systemie Kelly’ego ma dla wysokości stawki zakładu szacowane prawdopodobieństwo, spójrzmy na 3 scenariusze.

Założenia: bankrollu 100 zł, kurs zakładu 1.80.

W tabeli pokazano, jak mocno zmienia się wysokość stawki w zależności od szacowanych szans na trafienie zakładu – w klasycznej wersji gry i z podatkiem.

Wniosek:

Zgodnie z przewidywaniami, wzrost szacowanego prawdopodobieństwa przekłada się na wzrost stawki zakładu. Jednak w przypadku gry obarczonej podatkiem 12% prawdopodobieństwo na poziomie 60% przy przyjętych założeniach oznacza wynik 0 zł, czyli pomimo pierwotnej przewagi gracz nie powinien typować tego zakładu.

Warianty systemu Kelly’ego

Podstawowy wariant systemu Kelly’ego może być modyfikowany w celu zmniejszenia ryzyka dużych strat. Taka modyfikacja funkcjonuje jako ułamkowy Kelly (ang. Fractional Kelly) i stosowane są w niej stawki niższe niż w klasycznym systemie.

Główne warianty to:

• Pełny Kelly (Full Kelly) – zakład obstawia się za całą kwotę wyliczoną ze wzoru.
• 1/2 Kelly’ego (Half Kelly) – zakład obstawia się za połowę wyliczonej kwoty.
• 1/4 Kelly’ego (Quarter Kelly) – zakład obstawia się za ćwierć wyliczonej kwoty.

Wracając do naszego przykładu, w którym wyliczona stawka wynosiła 7,78 zł, w przypadku 1/2 Kelly’ego stawka wyniosłaby 3,89 zł, a 1/4 Kelly’ego – 1,95 zł.  

Zalety ułamkowego Kelly’ego:

• mniejsze straty z pojedynczych zakładów,
• mniejsze wahania bankrollu,
• mniejsza wrażliwość na błędne oszacowanie przewagi przez gracza (zawyżenie realnego prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia).

Wady ułamkowego Kelly’ego:

• spowolnienie potencjalnego tempa długoterminowego wzrostu budżetu gracza.

System Kelly’ego – zalety i wady

System Kelly’ego to sposób zarządzania bankrollem, który stawia przed typerem konkretne wyzwania, dlatego nie sprawdzi się dla każdego. Obok bezdyskusyjnych zalet ma też swoje wady czy ograniczenia, których należy być świadomym.

Zalety:

• Stawki są dobierane do przewagi gracza – jeśli przewaga jest większa, stawka rośnie, jeśli mniejsza – maleje, a w przypadku jej braku – zakład jest pomijany.
• Wysokość stawek wyprowadzana jest ze wzoru – wartość stawki nie opiera się np. na intuicji gracza, ale jest obliczana na podstawie wzoru matematycznego, który służy maksymalizacji długoterminowego tempa wzrostu bankrollu.
• Stawki adaptują się do zmian bankrollu – aktualna kwota budżetu gracza jest czynnikiem uwzględnianym przy wyliczaniu stawek, więc maleją one po stratach i rosną po wygranych (przy zachowaniu tych samych kursów i prawdopodobieństwa).

Wady:

• Duże ryzyko błędów – system wymaga od gracza umiejętności prawidłowej oceny szans typów na wejście, co stwarza duże ryzyko popełnienia błędu, a jeśli dochodzi do zawyżenia  prawdopodobieństwa wygranej to może prowadzić do obstawiania zbyt wysokich stawek.
• Ryzyko dużych strat – także wtedy, gdy szacunki gracza są prawidłowe, możliwe są duże straty i spadki bankrollu (zakłady z dodatnią wartością oczekiwana też mogą być przegrane).
• Ograniczenia przy wielu zakładach – stawiając kilka zakładów jednocześnie, można w podstawowej wersji systemu zbyt mocno obciążyć bankroll.
• Czasochłonność – wyszukiwania valuebetów i szacowania prawdopodobieństwa dla każdego zakładu jest pracochłonne i wymaga sporo czasu.

System Kelly’ego nie tworzy przewagi nad bukmacherem. Jego stosowanie ma sens tylko wtedy, gdy gracz jest skuteczny w znajdowaniu valuebetów i prawidłowym szacowaniu prawdopodobieństwa wygranej.

Przez Kamil Skroban - Autorem artykułu jest Kamil Skroban, magister ekonomii, ekspert rynku bukmacherskiego w Polsce. Od lat związany z branżą zakładów bukmacherskich, współtwórca portali o tematyce bukmacherskiej: WygranaOnline.com, LegalnyBukmacher.pl oraz PorownywarkaKursow.pl. Autor wielu artykułów o tej tematyce, stale poszerzający swoją wiedzę. Prywatnie pasjonat sportu. Więcej informacji o autorze znajdziesz na jego stronie internetowej: kamilskroban.pl, kontakt: kamil@skroban.pl.